1:iki noktanad yanlız bir doğru geçer.
2:bir doğru parçası iki yöne sınırsız uzanır.
3:merkezi ve üzerinde bir noktası verilen bir çember çizilebilir.
4:bütün dik açılar eşittir.
5:bir doğruya dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir paralel çizilebilir.
Yükseklik Bağıntısı
Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik uzunluğunun karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı 2 kenarın çarpımına eşittir. Denklemi |h 2=k.p şeklindedir
- | h | 2 = p.k
- | b | 2 = k.a
- | c | 2 = p.a
- 1/h=1/b+1/c
- b.c=h.a (büyük dik üçgenin alan hesabından)
Öklit’in bu tanımlamaları ve kurduğu geometri 17. ve 18.yy.a kadar kesin hakimiyetini sürdürmüş ve bu yıllarda R.Descartes, Monge , Pascal ve Poncelet’in oluşturduğu cebirsel, analitik, tasarı ve izdüşümsel geometriler de Öklitçi temellere oturmaktan kurtulamamışlardır.Ancak Öklit’in “ bir doğruya dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir paralel doğru çizilebilir.” dediği 5. aksiyomu 19. yy.ın başlarında matematikçiler arasında büyük tartışmaların kaynağı olmuş ve yeni geometrilerin kurulmasına ilham vermiştir.
Macar matematikçi j.Bolyai ( 1802-1860 ) ve matematiğin taçsız kralı C.F.Gauss, Öklit’in 5. aksiyomunu kanıtlamak yerine bir başkası ile değiştirmeyi seçmekle yeni geometriler kurulabileceğini gösterdiler. N.Lobachevsky ve J.Bolyai birbirinden bağımsız olarak Hiperbolik Geometri’yi buldular.Hiperbolik geometride bir “doğru”nun düz olması gerekmez ve paralel doğrular kesişmemelerine rağmen asimptot oldukları için birbirlerinden eşit uzaklıkta kalmaz.
1854’te G.F.Bernhard Riemann ( Alman matematikçi ) 5. aksiyomun tersini kabul ederek : “Bir noktadan dışındaki bir doğruya hiçbir paralel doğru çizilemez.” şeklinde ve “bir doğru parçası doğrusal bir çizgi üzerinde sürekli uzatılabilir.” aksiyomunu da “bir doğru sınırsızdır ama sonsuz değildir.” ( yani doğrunun başlangıç ve bitiş noktaları yoktur ama uzunluğu sonludur.) şeklinde değiştirdi.Böylece küresel
yada Eliptik Geometri’yi kurdu
Fransız matematikçi Henri Poincare ( 1854-1912 ) nin modeli ise çok ilginçtir.Poincare’nin düşsel evreninde merkez 00 sıcaklıkta bir daireyle belirli üç boyutlu bir modeldir.Merkezden uzaklaştıkça çevredeki sıcaklık artar.Burada nesnelerin ve varlıkların sıcaklık değişikliklerinden habersiz olduklarını her şeyin büyüklüğünün hareket ettikçe değiştiğini varsayarsak her nesne ve canlı merkeze yaklaştıkça büyür ve merkezden uzaklaştıkça orantılı olarak küçülür.Her şeyin büyüklüğü değiştiği için kimse büyüklüklerin değiştiğini fark edemeyecek ve bundan haberi olmayacaktır.
20.yy.ın başında A.Einstein’in geliştirdiği genel görelilik kuramı ile Riemann geometrisi arasındaki uyum ,başlangıçta yararsız bulunan Öklit dışı geometrilerin üstünlüğünün ilk adımını oluşturdu.Ardından Hilbert’in sonsuz boyutlu metrik geometrisinin ,atom kuramının matematiksel yapısını açıklayabileceğinin ortaya çıkmasıyla Öklit Dışı Geometrilerin önemi daha iyi anlaşılmaya başlandı.
Yararlanılan Kaynaklar
Matematik ve Sanat ( Proje-O.Murtaza GÖKDAL )
Yaşayan Matematik ( Theoni PAPPAS )
G.Hachette
Wikipedi
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder